“千课万人”核心素养下的小学数学“发展课堂”研讨观摩会

——暨国际华语教育之创新型人才培养高峰论坛

11月11日互动专刊（二）

专家课评

起于“史”疑于“史”明于史”

——张新春老师《圆的周长》一课赏析

“圆的周长”，被无数大师与新秀咀嚼磨砺了无数次的经典内容，还有怎样的视角与路径？还有怎样的材料与价值？相信老师们和我一样，带着这样的好奇与期待，走进张新春老师的《圆周长》课堂。

听完张老师《圆周长》一课，细细品味，确感别有洞天、特点鲜明！以“史”为主轴，伴随着“史”的质疑、证明、介绍，从数学史料中寻找数学探究的因子，孩子的探究渐次深入，认识渐次丰满。我们一起来分享！

一、基于“史料”主线，整体推进学习进程。

“数学史料”作为数学文化的重要载体，如何从中汲取养料，为数学教学寻找探究的元素，铺设探究的路径，应该是张老师的设计初衷。

以往大多教学，会将数学史的介绍，置于周长“怎样算”的结论得出之后，仅作为延伸拓展、文化渗透的阅读材料。而在张老师的课堂上，我们看到，却是将“数学史”作为学习推进的抓手，贯穿始终。整体结构为：阅读“周三径一”——质疑“是否相信”——验证“基本正确”——介绍“古人研究历程”——理解“圆周率本质”。首先，由《周髀算经》中对“周三径一”介绍，引发质疑；由“不相信”“不精确”，引向操作证明；由“已经知道还可以学什么”，引向“古人怎样研究”。这一进程中，学生展开对圆周率的探究与理解，起于“史”，明确探究方向；疑于“史”，牵动探究展开；介绍“史”，深化圆周率理解。可谓独辟蹊径！

二、放大“史料”背景，促进“圆周率”深刻理解。

圆周长的精确测量是一个千古难题，在对这个难题的破解中，人们发现了圆周率，并经历了实验时期、几何法时期、分析法时期、计算机时期这四个时期。从实验期到几何期，是人类对于圆周率求值过程的第一次飞跃，体现了数形结合的思想；从几何期到分析期，是代数思想发展带给数学的生机；从分析期到计算机时期，使人们对圆周率的认识达到了质的飞跃，成为现代计算机技术对数学的一大贡献。

怎样让学生感受这一个发展过程，对于学生深刻地理解圆周率，有着十分重要的作用。张老师正是不遗余力地将研究进程作了充分展开，经历了用实验法只能得到圆周率的大致值的体验之后，介绍之后关于圆周率的研究方法与成果。随着圆周率精确程度的递进，老师随机提问：那么，究竟“C=？d”呢？至此，从“写不完”、“是一个无限不循环小数”、“可以用符号表示”、“倍”，学生们对圆周率的理解，逐渐清晰。张老师并不满足于这些结论，继续追问：圆周率是3吗？是3.14吗？是3.吗？此时，圆周率是一个常量，是一个无限不循环小数，已经深入人心！可以说，在这样一个大的背景下来认识，学生头脑中的“圆周率”才是比较完整的、深刻的。

三、挖掘“史料”价值，促进研究能力发展。

从史料中挖掘探究的价值，发展学生的研究能力，在张老师的课中，可见一斑！

首先，质疑的意识与严谨的态度。教师巧妙给出方中圆图，引导学生估计猜想，确定圆周长的范围是“大于2倍”，“小于4倍”之后，顺应学生的思路，出示一个新的结论“周三径一”，并提问：你相信吗？为什么？此一问，其背后的思想是：“古人的结论并不是确定的，是可怀疑的”。学生对结论的态度是“不相信”、“不精确”、“有偏差”、“需验证”。这一过程中，“书上结论一定是正确的”这一固有认识被打破，质疑的意识，严谨的态度这一目标悄然蕴伏！

其次，研究的思想与分析的方法。当生发学生进一步探究圆周率的动机之后，教师抛出思考任务：怎么研究？研究方案由学生给出，无疑，改变了以往教学中学生只当“操作工”的角色，而是将操作活动引向“研究方法”的经验积累。更为令人拍案赞赏的环节是，当操作数据生成后，教师并没有置数据于不顾，而是用浓重的笔墨，引导学生思考：对刚才得出的数据怎么看？“基本正确的”、“不是很精确，有误差”、“几乎没有一个一模一样的”，“但都是在3倍左右”，显然，这是着力于研究能力中重要的“数据分析能力”培养。

四、进一步思考

当然，张老师的课，可圈可点处颇多，限于篇幅，简略阐述：

1.自我介绍姓“张”引发“弓长”的讨论与测量，“弓长”=“弓有多长”，一方面将圆的周长意义建立于最为一般的“周长”概念理解，另一方面，进行如何测量周长的方法渗透与示范。设计巧妙！

2.先估再算的思想渗透。给出圆中方的示意图，为估值提供了极好的脚手架，同时，让学生真切经历了“猜想验证”的过程。极有深意！

3.运用祖冲之的结论，计算地球赤道的长度，体验“应该误差会很大”到“只相差1.5米”的思维冲击，体会圆周率精确的程度。处理细腻！

欣赏之余，也有一点思考与大家探讨：设疑、释疑环节，“究竟是几倍”，“怎样研究”，老师已经为学生提供了一定的空间，但对于研究能力的培养，仍感距离尚远。学生仅提出“量出周长、量出直径、除一除”的基本思路，是否可借此契机引发学生对“研究方案与策略”的深入思考，比如：测量什么？测量几个？如何测量？注意什么？从研究对象的随机性、研究数量的丰富性、研究策略的科学性等等维度进一步深入，或许，研究能力的培养会更有根基更有落点！

（浙江潘红娟）

重在实践探索贵在发展思维

——听王海瑞老师教学《长方形纸中的数学》有感

数学教学，除了要重视显性数学知识的教学，更要重视学生数学思维能力这个核心素养的培养，这样才能使学生拥有一双用数学视角观察世界的眼睛，拥有一个能用数学思维思考的头脑，拥有一种能用数学方法解决问题的能力，才能把数学的根留住，才能让学生真正拥有智慧。在“千课万人”核心素养下的全国小学数学“发展课堂”研讨观摩会上，吉林长春市第一实验银河小学王海瑞老师教学的《长方形纸中的数学》这节课，重视培养学生的核心素养，将教学的着力点放在发展学生的合情推理能力、创新思维能力和理性思维能力等关键能力上，为学生的持续发展、终身发展而教，重视实践探索，引导猜想验证，启迪学生思考，教给思考方法，贵在发展学生的思维能力，彰显了核心素养理念下“发展课堂”教学的深刻内涵！

一、引导猜想验证，发展合情推理能力

《数学课程标准(年版)》提出：“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力。”发展合情推理能力已经成为数学教学的重要目标，也是学生的核心素养之一。猜想是一种合情推理，属于综合程度较高的带有一定直觉性的高级认识过程。学生在“猜想——验证”的问题探索过程中，能亲身经历用合情推理发现结论的推理过程，在探索过程中感悟数学思想，积累数学活动经验，这对于提升学生的核心素养大有裨益。王老师善于对教材内容进行深度加工，通过一张长方形A4纸（长30厘米、宽20厘米），引导学生经历“猜想——验证”探索活动过程，先引导学生将长方形纸对折，有的学生按左右方向对折，然后打开，变成两个小长方形；也有的学生按上下方向对折，然后打开，同样变成两个小长方形。然后让学生猜想对折后每个小长方形的周长和面积各是多少。有的学生猜测：“一个小长方形的周长是20厘米，面积是平方厘米。”有的学生猜测：“一个小长方形的周长是70厘米，面积是平方厘米。”也有的学生猜测：“一个小长方形的周长是原来长方形周长的一半，也就是50厘米；面积也是原来长方形面积的一半，也就是平方厘米。”这些猜想是否正确呢？王老师引导学生再次将长方形纸对折，并通过计算来验证自己的猜想，让学生完成“学习记录单”，然后投影展示反馈：一个小长方形的周长是（20＋15）×2＝70（厘米），面积是20×15＝（平方厘米）；另一个小长方形的周长是（30＋10）×2＝80（厘米），面积是20×15＝（平方厘米）。通过计算验证，得出原来的猜想有的是正确的，有的是错误的。同时引导学生比较，看看有什么发现，结果发现，对折后每个小长方形的面积相等，但它们的周长不相等。最后引导学生总结出“面积相等的图形，周长不一定相等。”

在此基础上，王老师又一次引导学生将长方形纸先按左右方向对折，再按上下方向对折，让学生猜想连续对折两次后这个小长方形的面积是多少。结果有个学生猜测：“这个小长方形的面积是平方厘米。”这个猜想是否正确呢？王老师要求学生想想怎么验证自己的猜想，并鼓励学生用多种计算方法验证自己的猜想。结果有的学生这样计算：30×20÷4＝（平方厘米），也有的学生这样计算：15×10＝（平方厘米），通过计算验证，得出原来的猜想是正确的。

这个教学过程，学生先经过大胆猜想，然后动手操作，从实践中直观感受到长方形的周长和面积发生着怎样的变化，让学生通过计算验证自己的猜想，既发展了学生的合情推理能力，也让学生在实践探索中感受到数学的魅力，体验到成功的喜悦。

二、寻求多种策略，发展创新思维能力

《数学课程标准(年版)》提出：“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。”创新离不开思维，没有思维就不可能有创新。创新思维具有发散性、广阔性、灵活性和敏捷性等特点，是提高学生创新能力的必备素养。在教学中，王老师并不满足于学生已有的思维成果，而是引导学生从不同的角度思考和探索，进行创造性地解决问题。

如何求一个不规则图形的周长和面积？王老师提出：“把刚才的长方形纸按左右、上下连续对折两次后展开，再剪去右上角四分之一的小长方形，你能求出剩下这个图形的周长和面积吗？”并将长方形纸剪成如下图形，同时标上有关数据。

王老师先让学生在《学习记录单》上独立完成，然后和小组成员交流自己的计算方法，最后进行汇报。

如何计算这个不规则图形的周长？有的学生这样计算：30＋20＋15＋10＋15＋10＝（厘米），也有的学生这样计算：（30＋20）×2＝（厘米），这种方法更简单。王老师追问：“你计算的是原来长方形纸的周长，你是怎么想的？”学生有理有据地回答：将两条短的线段进行平移，就与原来长方形的周长相等了。接着，王老师借助学生画的直观图，帮助学生理清求这个图形的周长可以转化为求原来长方形的周长，有机渗透转化思想，促进学生求异创新思维能力的发展。

如何计算这个不规则图形的面积？学生创造了多种不同的计算方法：①20×30－15×10＝（平方厘米）；②20×30÷4×3＝（平方厘米）；③15×10＋30×10＝（平方厘米）；④15×20＋15×10＝（平方厘米）。多么好的创新求异啊！学生的创新思维火花得到迸发。学生不拘泥于狭隘的解题思路，突破单一的思维模式，敢于打破常规，转换角度思考，沿着不同方向，对同一问题从多角度加以解决，学生的创新思维能力得到有效培养。

学生通过计算这个不规则图形的周长和面积，王老师进一步引导学生将这个不规则图形的周长和面积，与原来长方形的周长和面积进行比较，使学生感悟到周长的不变与面积的变化，在变与不变中发展学生思维的深刻性。

三、组织比较辨析，发展思维的深刻性

教育家乌申斯基说过：“比较方法乃是各种认识和各种思维的基础”“没有比较就没有鉴别”。组织比较辨析，有利于让学生的思维在比较、辨析中走向深刻，进而发展学生思维的深刻性。

数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种获取知识和解决问题的有效方法。在教学中，王老师利用数形结合的方式，引导学生从形的方面去研究，进行形象思维，从数的方面去分析，进行抽象思维。如王老师提出：“我将这个不规则图形变成‘凹’和‘凸’两个形状的图形（利用电脑动态演示，并标上有关数据），算一算，这两个图形的周长和面积各是多少？”先引导学生对话“凹”和“凸”，“凸”对“凹”得意地大笑：“我不仅面积比你大，而且周长也比你长。”“凹”冷静地反驳道：，让学生扮演“凹”进行反驳。然后让学生计算“凹”“凸”这两个图形的周长和面积。学生根据表面观察容易产生“凸”的周长比“凹”的周长长的认识偏差，通过相互辩驳，使学生明晰道理，将学生的思维引向深入。通过计算，使学生理清：利用平移的方法，“凹”的周长比原来长方形的周长多20厘米，“凸”的周长也是比原来长方形的周长多20厘米，“凹”和“凸”的周长是相等的，都是厘米。但“凸”的面积比“凹”的面积大，“凸”的面积是平方厘米，“凹”的面积是平方厘米。使学生深刻地感悟到“凹”和“凸”图形周长与面积的关系，打破了学生原有的“周长越长的图形面积越大，面积越大的图形周长也越长”的思维定势。在此基础上，王老师引导学生抽象、概括，并总结出“周长相等的图形，面积不一定相等。”从而揭示数学规律，有效培养了学生思维的深刻性。

在课的末尾，王老师还对本节课所学的各种图形进行有序排列整理，引导学生对比、体验和感悟，引导学生体会各种图形周长和面积的变化规律，感悟变与不变的数学思想，进一步提升了学生的理性思维。

总之，王老师这节课以发展学生的思维能力为主线，通过一张长方形纸的不断变化，在变化中求深刻，让学生在经历、探索数学知识方法的过程中，发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，让学生在实践中体验，在体验中思考，在思考中感悟，在感悟中创造，使学生获得真正意义上的发展，这节课很值得我们学习和借鉴！

（福建邱廷建）

学习，静静地发生

——朱乐平老师《竖式意义的练习课》教学赏析

因为有书面课评的任务，领到资料的第一时间，就先学习《竖式意义练习课》的教学设计，希望能大致了解教学目标与过程，便于现场听课时有更多时间







































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